Mnogi študenti, ki v naprednih tečajih preučujejo napredno matematiko, so se verjetno spraševali: kje se v praksi uporabljajo diferencialne enačbe? O tem vprašanju se na predavanjih praviloma ne govori, učitelji pa takoj nadaljujejo z reševanjem teorije kontrol, ne da bi študentom razložili uporabo diferencialnih enačb v resničnem življenju. Poskusili bomo zapolniti to vrzel.
Začnemo z definiranjem diferencialne enačbe. Torej, diferencialna enačba je enačba, ki vrednost izpeljane funkcije navezuje na samo funkcijo, vrednosti neodvisne spremenljivke in nekatera števila (parametre).
Najpogostejše področje, na katerem se uporabljajo diferencialne enačbe, je matematični opis naravnih pojavov. Uporabljajo se tudi pri reševanju problemov, pri katerih ni mogoče vzpostaviti neposrednega razmerja med nekaterimi vrednostmi, ki opisujejo postopek. Take naloge nastajajo v biologiji, fiziki in ekonomiji.
V biologiji:
Prvi vsebinski matematični model, ki je opisal biološke skupnosti, je bil model Lotka-Volterra. Opisuje populacijo dveh interaktivnih vrst. Prvi izmed njih, imenovan plenilci, umre po zakonu x '= –ax (a> 0) v odsotnosti drugega, drugi, žrtve pa, če plenilci ne obstajajo, se neomejeno množi v skladu z Malthusovim zakonom. Interakcija teh dveh vrst se oblikuje na naslednji način. Žrtve izumirajo s hitrostjo, ki je enaka številu srečanj plenilcev in žrtev, za katero se v tem modelu domneva, da je sorazmerna s številom obeh populacij, to je enako dxy (d> 0). Zato je y '= by - dxy. Plenilci se razmnožujejo s hitrostjo, sorazmerno s številom pojetega plena: x '= –ax + cxy (c> 0). Sistem enačb
x '= –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
opisuje takšno populacijo, plenilec je plen in se imenuje sistem (ali model) Trays - Volterra.
V fiziki:
Newtonov drugi zakon lahko zapišemo v obliki diferencialne enačbe
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kjer je m masa telesa, x njegova koordinata, F (x, t) sila, ki deluje na telo s koordinato x v času t. Njegova rešitev je usmeritev telesa pod delovanjem navedene sile.
